Question

已知双曲线C与椭圆9x 2 +25y 2 =225有相同的焦点，且离心率e=2．（1）求双曲线C的方程；（2）若P为双曲线

已知双曲线C与椭圆9x 2 +25y 2 =225有相同的焦点，且离心率e=2．（1）求双曲线C的方程；（2）若P为双曲线右支上一点，F 1 、F 2 为其焦点，且PF 1 ⊥PF 2 ，求△PF 1 F 2 的面积．

Answer 1

（1）设双曲线C的方程为 x 2 a 2 - y 2 b 2 =1 (a＞0，b＞0) 椭圆 9 x 2 +25 y 2 =225 可化为  x 2 25 + y 2 9 =1 ∴ c= 25-9 =4 ∵ e= c a =2 ∴a=2 ∴b 2 =c 2 -a 2 =16-4=12 ∴所求双曲线方程为  x 2 4 - y 2 12 =1 （6分） （2）由已知得 |P F 1 |-|P F 2  =4                    ① |P F 1 |  2 +|P F 2 |  2 =| F 1 F 2 |  2 =64   ② ， ②-① 2 得2|PF 1 |?|PF 2 |=48 ∴|PF 1 |?|PF 2 |=24 ∴ S △P F 1 F 2 = 1 2 |P F 1 | ? |P F 2 | =12 （12分）