Question

直线在平面上的投影方程如何求？

Answer 1

直线在平面上的投影方程：

(1)写出直线的一般方程。

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

(2) 应用平面束方程(过直线的几乎所有平面都可以这样表示)。

A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0

(3)根据两平面垂直的条件求出λ，得到(2)中的平面。

(4)联立(3)中求得的平面方程和题中已知平面方程，即得所求投影直线方程。

直线方程的不同表达方式：

1、一般式:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)【适用于所有直线】。

2、点斜式:y-y0=k(x-x0) 【适用于不垂直于x轴的直线】。

Answer 2

要求直线在平面上的投影方程，可以按照以下步骤进行：
1. 确定平面的法向量：根据平面的已知条件，可以确定平面的法向量。平面的法向量可以用向量的分量表示，例如 (a, b, c)。
2. 确定平面上的一点：选择平面上的一个已知点，可以使用坐标表示。
3. 写出直线的参数方程：将直线表示为参数方程的形式，例如 x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中 (x0, y0, z0) 是直线上的已知点，(a, b, c) 是直线的方向向量，t 是参数。
4. 将参数方程代入平面的方程：将直线的参数方程代入平面的方程中，并根据平面的法向量确定平面上的点的坐标。最终得到投影方程。
举例说明：
假设有直线 L：x = 2t, y = -t, z = 3 + 4t，和平面 P：2x - 3y + z = 6。
步骤1：平面的法向量为 (2, -3, 1)。
步骤2：选择平面上的一点，如 (1, 2, 3)。
步骤3：直线的参数方程为 x = 2t, y = -t, z = 3 + 4t。
步骤4：将参数方程代入平面的方程，得到：
2(2t) - 3(-t) + (3 + 4t) = 6。
简化方程得到 4t + 3t + 3 + 4t = 6，
合并同类项得到 11t + 3 = 6，
解得 t = 3/11。
将 t 的值代入直线的参数方程，得到直线在平面上的投影点为 (2(3/11), -(3/11), 3 + 4(3/11)) = (6/11, -3/11, 39/11)。
因此，直线 L 在平面 P 上的投影方程为 x = 6/11, y = -3/11, z = 39/11。