Question

（2011?湖北）已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 1 =a（a≠0），a n+1 =rS n （n∈N * ，r∈R，r

（2011?湖北）已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足：a 1 =a（a≠0），a n+1 =rS n （n∈N * ，r∈R，r≠﹣1）．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若存在k∈N * ，使得S k+1 ，S k ，S k+2 成等差数列，试判断：对于任意的m∈N * ，且m≥2，a m+1 ，a m ，a m+2 是否成等差数列，并证明你的结论．

Answer 1

（1） （2）见解析

（1）由已知a n+1 =rS n ，则a n+2 =rS n+1 ，两式相减得 a n+2 ﹣a n+1 =r（S n+1 ﹣S n ）=ra n+1 即a n+2 =（r+1）a n+1 又 a 2 =ra 1 =ra ∴当r=0时，数列{a n }为：a，0，0，…； 当r≠0时，由r≠﹣1，a≠0，∴a n ≠0 由a n+2 =（r+1）a n+1 得数列{a n }从第二项开始为等比数列 ∴当n≥2时，a n =r（r+1） n ﹣ 2 a 综上数列{a n }的通项公式为 （2）对于任意的m∈N * ，且m≥2，a m+1 ，a m ，a m+2 成等差数列，理由如下： 当r=0时，由（1）知， ∴对于任意的m∈N * ，且m≥2，a m+1 ，a m ，a m+2 成等差数列； 当r≠0，r≠﹣1时 ∵S k+2 =S k +a k+1 +a k+2 ，S k+1 =S k +a k+1 若存在k∈N * ，使得S k+1 ，S k ，S k+2 成等差数列，则2S k =S k+1 +S k+2 ∴2S k =2S k +a k+2 +2a k+1 ，即a k+2 =﹣2a k+1 由（1）知，a 2 ，a 3 ，…，a n ，…的公比r+1=﹣2，于是 对于任意的m∈N * ，且m≥2，a m+1 =﹣2a m ，从而a m+2 =4a m ， ∴a m+1 +a m+2 =2a m ，即a m+1 ，a m ，a m+2 成等差数列 综上，对于任意的m∈N * ，且m≥2，a m+1 ，a m ，a m+2 成等差数列．