已知函数f(x)=alnx,g(x)=x2.其中x∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求
已知函数f(x)=alnx,g(x)=x2.其中x∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;(Ⅱ)若f(x)≤g(x)-...
已知函数f(x)=alnx,g(x)=x2.其中x∈R.(Ⅰ)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;(Ⅱ)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数a的值;(Ⅲ)当a<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为kAB,若|kAB|≥1,求a的取值范围.
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(Ⅰ)f′(x)=
,g′(x)=2x,依题意得:a=2; …(2分)
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.…(3分)
∴两直线间的距离为
=
…(4分)
(Ⅱ)令h(x)=f(x)-g(x)+1,则h′(x)=
?2x=
当a≤0时,注意到x>0,∴h′(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)单调递减,…(5分)
又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)>g(x)-1,与题设矛盾.…(6分)
当a>0时,h′(x)=
(
+x)(
?x)(x>0)
当0<x<
,h′(x)>0,当x>
时,h′(x)<0
∴h(x)在(0,
a |
x |
∴曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0.…(3分)
∴两直线间的距离为
|?2+1| | ||
|
| ||
5 |
(Ⅱ)令h(x)=f(x)-g(x)+1,则h′(x)=
a |
x |
a?2x2 |
x |
当a≤0时,注意到x>0,∴h′(x)<0,∴h(x)在(0,+∞)单调递减,…(5分)
又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)>g(x)-1,与题设矛盾.…(6分)
当a>0时,h′(x)=
2 |
x |
|
|
当0<x<
|
|
∴h(x)在(0,
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