Question

已知函数f（x）= x x-1 ．（1）用函数单调性定义证明 f(x)= x x-1 在（1，+∞）上

已知函数f（x）= x x-1 ．（1）用函数单调性定义证明 f(x)= x x-1 在（1，+∞）上是单调减函数；（2）求函数 f(x)= x x-1 在区间[3，4]上的最大值与最小值．

Answer 1

（1）证明：设x 1 ，x 2 为区间（1，+∞）上的任意两个实数，且1＜x 1 ＜x 2 ， 则f（x 1 ）-f（x 2 ）= x 1 x 1 -1 - x 2 x 2 -1 = x 2 -x 1 (x 1 -1) (x 2 -1) ∵1＜x 1 ＜x 2 ，∴x 2 -x 1 ＞0，x 1 -1＞0，x 2 -1＞0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0 ∴f（x 1 ）＞f（x 2 ） ∴ f(x)= x x-1 在（1，+∞）上是单调减函数 （2）由（1）可知，函数 f(x)= x x-1 在[3，4]上为单调递减函数 所以在x=3时，函数 f(x)= x x-1 取得最大值 3 2 ；在x=4时，函数 f(x)= x x-1 取得最小值 4 3 ．