Question

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= ， ，则棱锥S—ABC的体积为( ) A． B．

已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= ， ，则棱锥S—ABC的体积为( ) A． B． C． D．1

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Answer 1

C

试题分析：球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S △SCD ，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积。 设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC="30°" 得：AC=2，SA=2 又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC="30°" 得：BC=2，SB=2 则：SA=SB，AC=BC 因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD= 在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD= 又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S-ABC的体积：V= AB?S △SCD ， 因为：SD= ，CD= ，SC="4" 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD 2 +CD 2 -SC 2 ） 则：sin∠SDC= 由三角形面积公式得△SCD的面积S= SD?CD?sin∠SDC="=3" 所以：棱锥S-ABC的体积：V= AB?S △SCD = ,故选C 点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．