Question

已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2

已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)=f(1＋x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sin,x)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x∈[0,π]时，求不等式f(·)＞f(·)的解集.

Answer 1

当m＞0时，为{x| ＜x＜ ；当m<0时，为{x|0≤x＜ 或 ＜x＜π。

【易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。 解析：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1－x,y 1 )、B(1＋x,y 2 )，因为=1，f(1－x)=f(1＋x)，所以y 1 =y 2 由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m＞0，则x≥1时，f(x)是增函数；若m＜0，则x≥1时，f(x)是减函数。∵·=（sinx，2）·（2sinx,）=2sin 2 x＋1≥1，·=（cos2x，1）·(1,2)=cos2x＋2≥1∴当m＞0时，f(·)＞f(·) f(2sin 2 x＋1)＞f(cos2x＋2) 2sin 2 x＋1＞cos2x＋2 1－cos2x＋1＞cos2x＋2 cos2x＜0 2kπ＋ ＜2x＜2kπ＋ ,k∈z kπ＋ ＜x＜kπ＋ ,k∈z∵0≤x≤π ∴ ＜x＜ 当m＜0时，同理可得0≤x＜ 或 ＜x≤π综上所述，不等式f(·)＞f(·)的解集是：当m＞0时，为{x| ＜x＜ ；当m<0时，为{x|0≤x＜ 或 ＜x＜π。 【知识点分类点拔】在运用函数的单调性构造不等式时，一定要明确函数在哪个区间或定义域上的单调性如何（不可忽视定义域的限制），通过本题要很好的体会向量、不等式、函数三者的综合，提高自已应用知识解决综合问题的能力。

Answer 2

由f(1-x)=f(1+x)，得:
f(ⅹ)的对称轴为x=1，且f(x)为二次函数
∴f(ab)=f(2sin²x+1)
①若函数图像开口向下
即当x>1时，函数单调递减
使f(2sⅰn²x+1)>f(2)
∴1≤2sⅰn²x+1<2
∴0≤sin²x<1/2
∵x∈[0，π]
∴0≤x<π/4或3π/4﹤x≤π
∴x的取值范围为[0，π/4)U(3π/4，π]
②若函数图像开口向上
即当ⅹ﹥1时，函数单调递减
使f(2sⅰn²x+1)>f(2)
即2sin²x+1>2
∴sⅰn²x﹥1/2
∵x∈[0，π)
∴π/4﹤ⅹ≤π/2或π/2≤ⅹ<3π/4
∴ⅹ的取值范围为(π/4，3π/4)
∴综上，x的取值范围为: [0，π/4)U(3π/4，π]或 (π/4，3π/4).