Question

用单调性定义证明y=x+1/x在(0，1)上是减函数

Answer 1

证明：因为y=x+1/x
所以设x1>x2
则有y1-y2=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+[(x2-x1)/x1x2]
=[(x1-x2)x1x2]/x1x2+[(x2-x1)/x1x2]
=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2
又因为0<x2<x1<1
所以x1-x2>0,x1x2-1<0,x1x2>0
所以y1-y2=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2<0
即y1<y2
又因为x1>x2
所以，y=x+1/x在(0,1)上是减函数

Answer 2

设0<x1<x2<1
则x1-x2>0 ,0<x1x2<1
即1/(x1x2)>1
y1-y2=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)(1-1/x1x2)
所以：y1-y2=(x1-x2)(1-1/x1x2)<0
故：y1<y2
所以：y=x+1/x在(0，1)上是减函数

Answer 3

不妨设0＜x1＜x2＜0
则令f（x）＝x＋1／x
则f（x1）－f（x2）＝x1－x2－1／x1－1／x2
＝（x1－x2）－（1／x1＋1／x2）
＝（x1－x2）－（x1＋x2）／（x1x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）
所以y=x+1/x在(0，1)上是减函数
不懂可以追问，谢谢！