Question

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为

如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2．（1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1的夹角为π3，求侧棱的长．

Answer 1

（1）取BC中点D，连接AD，B₁D，
由正三棱锥ABC-A₁B₁C₁，得面ABC⊥面BCC₁B₁．
又D为三角形ABC的边BC的中点，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC₁B₁
在矩形BCC₁B₁中，BC=

2

，BB₁=1，
于是Rt△CBC₁与Rt△BB₁D相似，
∠CBC₁=∠BB₁D，BC₁⊥DB₁
得AB₁⊥BC₁

（2）取BC₁的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB₁，∠EDB即为A B₁与B C₁成60⁰角，
∴∠EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=

6

2

，
∴BC₁=2BD=

6

，?BB₁=

6?2

=2
∴侧棱长为2（14分）

Answer 2

（1）取BC中点D，连接AD，B1D，































































由正三棱锥ABC-A1B1C1，得面ABC⊥面BCC1B1．































































又D为三角形ABC的边BC的中点，故































































AD⊥BC，于是AD⊥面BCC1B1































































在矩形BCC1B1中，BC=

2    

，BB1=1，
于是Rt△CBC1与Rt△BB1D相似，
∠CBC1=∠BB1D，BC1⊥DB1
得AB1⊥BC1

（2）取BC1的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB1，∠EDB即为A B1与B C1成600角，
∴∠EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=

6    

2    

，
∴BC1=2BD=

6    

，?BB1=

6?2    

=2
∴侧棱长为2

在几何学中，三棱柱是一种柱体，底面为三角形。正三棱柱是半正多面体、均匀多面体的一种。三棱柱是一种五面体，且有一组平行面，即两个面互相平行，而其他三个表面的法线在同一平面上（不一定是平行的面）。 这三个面可以是平行四边形。所有平行于底面的横截面都是相同的三角形。

由于三棱柱也可以视为三面体截去2个顶点，故又称截角三面体，另外，因为正三棱柱具有对称性，且由2种正多边形组成，因此有人称正三棱柱为半正五面体。

一般三棱柱有5个面、9条棱和6个顶点。

两底面互相平行，侧面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点，不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，两个底面的距离叫做棱柱的高。

底面是三角形、四边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱。

棱柱具有以下几个性质：

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形；[2] 

（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；[2] 

（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；[2] 

(4)横截面积和长度一定时，三棱柱状物体纵向支持力最大，横向承受力最小（横向受力使物体产生拉应力,纵向产生压应力.理论上压应力对物体有增强作用,拉应力着相反）；[2] 

（5）棱柱体积=底面积×高。

棱柱：一般的，有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个侧面的交线相互平行的多面体叫做棱柱。[3] 

直三棱柱：是各个侧面的高相等，底面是三角形，上表面和下表面平行且全等，所有的侧棱相等且相互平行且垂直于两底面的棱柱。上下表面三角形可以是任意三角形。正三棱柱是直三棱柱的特殊情况，即上下面是正三角形。

正三棱柱：三条侧棱皆平行，上表面和下表面是平行且全等的正三角形。正棱柱是侧棱都垂直于底面，且底面是正多边形的棱柱。[4] 

特别注意：底面为正多边形，侧棱垂直于底面，但是侧棱和底面边长不一定相等。

所以说，直三棱柱是很特殊的棱柱，正因为特殊所以是数学上性质比较好研究的。

希望我能帮助你解疑释惑。