Question

锐角三角形ABC中,a,b,c为角ABC所对的边,且(b-2c)cosA=a-2acos^2(B/2)

求角A。 若a=根号3，求b+c的取值范围

Answer 1

(b-2c)cosA=a-2acos^2(B/2)
则（sinB－2sinC）cosA＝sinA－sinA（1＋cosB）
则sinBcosA－2sinCcosA＝sinA－sinA－sinAcosB
sinBcosA＋cosBsinA－2sinCcosA＝0
sin（B＋A）＝2sinCcosA
sinC＝2sinCcosA
cosA＝1／2
A＝60°
a=√3

由余弦定理得a＾2＝b＾2＋c＾2－2bccosA
＝b＾2＋c＾2－bc＞＝2bc－bc＝bc
即bc＜＝a＾2＝3
而（b＋c）＾2＝b＾2＋c＾2＋2bc＝a＾2＋3bc＜＝12
所以√3＜b＋c＜＝2√3
不懂可以追问，谢谢！

Answer 2

(b-2c)cosA=a-2acos^2(B/2)
(b-2c)cosA=a-a(1+cosB)=-acosB
由a/sinA=b/sinB=c/sinC=R，两边除R，则：
sinBcosA-2sinCcosA=-sinAcosB

sin(B+A)=2sinCcosA
由C=π-（B+A），则sinC=sin(B+A)
sinC=2sinCcosA
cosA=1/2
A=π/3

a/sinA=b/sinB=c/sinC=(b+c)/(sinB+sinC)=√3/(√3/2)=2
b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin(2π/3-B)]=4sin(π/3)cos(B-π/3)=2√3cos(B-π/3)
0<B<2π/3
当B=π/3时，b+c最大值2√3
当B->0或B->2π/3时，b+c最小值√3
b+c的取值范围为(√3,2√3]