Question

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），值域是[0，+∞）的子集，且满足下列条件：①对任意x，y∈[0，+∞）

已知函数f（x）的定义域为[0，+∞），值域是[0，+∞）的子集，且满足下列条件：①对任意x，y∈[0，+∞），都有f[xf（y）]?f（y）=f（x+y）；②f（2）=0；③f（x）≠0（0≤x＜2）．（1）当x≥2时，求证：f（x）=0；（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）证明：令y=2，则由①得，f[xf（2）]?f（2）=f（x+2），
再由②得，f（x+2）=0，
∵x≥0，∴当x≥2时，f（x）=0；
（2）解：由（1）得，当x≥2时，f（x）=0；
当x=y=0时，f（0f（0））?f（0）=f（0），则f（0）=0或1，
由③f（0）≠0，故f（0）=1，
令0＜x＜2，则0＜2-x＜2，
由①得，f（2）=f[（2-x）+x}=f[xf（2-x）]?f（2-x）=0，
由③得，f（2-x）=0，故f[xf（2-x）]=0，
由f（2）=0，则xf（2-x）=2，即f（2-x）=

2

x

，
∴f（x）=

2

2?x

，也适合x=0，
∴f(x)＝

2 2?x ，0≤x＜2 0，x≥2

．