已知函数f(x)的定义域为[0,+∞),值域是[0,+∞)的子集,且满足下列条件:①对任意x,y∈[0,+∞)
已知函数f(x)的定义域为[0,+∞),值域是[0,+∞)的子集,且满足下列条件:①对任意x,y∈[0,+∞),都有f[xf(y)]?f(y)=f(x+y);②f(2)=...
已知函数f(x)的定义域为[0,+∞),值域是[0,+∞)的子集,且满足下列条件:①对任意x,y∈[0,+∞),都有f[xf(y)]?f(y)=f(x+y);②f(2)=0;③f(x)≠0(0≤x<2).(1)当x≥2时,求证:f(x)=0;(2)求f(x)的解析式.
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(1)证明:令y=2,则由①得,f[xf(2)]?f(2)=f(x+2),
再由②得,f(x+2)=0,
∵x≥0,∴当x≥2时,f(x)=0;
(2)解:由(1)得,当x≥2时,f(x)=0;
当x=y=0时,f(0f(0))?f(0)=f(0),则f(0)=0或1,
由③f(0)≠0,故f(0)=1,
令0<x<2,则0<2-x<2,
由①得,f(2)=f[(2-x)+x}=f[xf(2-x)]?f(2-x)=0,
由③得,f(2-x)=0,故f[xf(2-x)]=0,
由f(2)=0,则xf(2-x)=2,即f(2-x)=
,
∴f(x)=
,也适合x=0,
∴f(x)=
.
再由②得,f(x+2)=0,
∵x≥0,∴当x≥2时,f(x)=0;
(2)解:由(1)得,当x≥2时,f(x)=0;
当x=y=0时,f(0f(0))?f(0)=f(0),则f(0)=0或1,
由③f(0)≠0,故f(0)=1,
令0<x<2,则0<2-x<2,
由①得,f(2)=f[(2-x)+x}=f[xf(2-x)]?f(2-x)=0,
由③得,f(2-x)=0,故f[xf(2-x)]=0,
由f(2)=0,则xf(2-x)=2,即f(2-x)=
2 |
x |
∴f(x)=
2 |
2?x |
∴f(x)=
|
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