Question

初三数学圆综合题(很难)

如图，圆O与AB相切于点B，连接OA，以A为顶点在OA左侧作∠CAO=∠BAO.作CE⊥AB，垂足为点E，与AO交于点F.
(1)求证：AC与圆O相切.
(2)若圆O的半径为2，sin∠OAB=1/3,求EF的长.
(图中的辅助线我已经作出，应该是对的，但接下来再怎么做，我不会了。)

Answer 1

1.学过角平分线定理吗？
学过就是∠CAO=∠BAO=>OA为∠BAC的角平分线
圆O与AB相切于点B=>OB⊥AB
OC=OB=r
以上三个条件又由角平分线定理﹙在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等﹚可知：OC⊥AC=>AC与圆O相切
2.由圆定理可知：OA⊥且平分BC,由题可知：OA=6 r=2，所以 AC=AB=4√2 很容易证明得：
△COD∽△AOC, 边比例关系得：CD=4√2/3 ，BC=8√2/3
设BE=x 勾股定理（在△BCE和△ACE）都求CE,就有两个等式，求得x=8√2/9
又在△BCE勾股得：CE=32/9 明显△CDF∽△CEB 边比例得CF=2
所以EF=14/9

或者连接BF，看能不能得出四边形OCFB为菱形，直接得出CF=2.（但我总觉得不行,条件少了）

Answer 2

虽然很不想浪费一次答题的机会 我也正在竭力思考
但我实在想爆粗口了
楼下的不会做就别误导人了 没有边边角证全等的 只有边角边或者角角边、角边角（直角三角形除外）才能证！

Answer 3

1. ∠CAO=∠BAO，co=bo，ao=ao，所以.△CAO=△BAO，所以.∠COA=∠BOA=90°，所以AC与圆O相切.

2. 圆O的半径为2，sin∠OAB=1/3，且由图易证得.三角形DOB∽三角形BOA，所以od=2/3，bc=2bd=（8根号2）/3，三角形cdf∽三角形bdo∽三角形ceb，所以ce=32/9，cf=2，所以ef=14/9