Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga-lgb=lgcosA-lgcosB，（Ⅰ）若c＝3b，求角A；（Ⅱ）若

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知lga-lgb=lgcosA-lgcosB，（Ⅰ）若c＝3b，求角A；（Ⅱ）若cosC＝13，求cosB的值．

Answer 1

∵lga-lgb=lgcosA-lgcosB，
∴lg

a

b

=lg

cosA

cosB

，A、B∈（0，

π

2

），
∴

a

b

=

cosA

cosB

，纳枝
∴洞姿敏acosB=bcosA，由正弦定理可得 sinAcosB=sinBcosA，sin（A-B）=0，
∵A、B∈（0，

π

2

），
∴A=B，即a=b，△ABC为册姿等腰三角形．
又c=

3

b，由余弦定理得：c²=3b²=b²+a²-2abcosC=2b²-2b²cosC，
∴cosC=-

1

2

，又C∈（0，π），
∴C=

2π

3

，又A=B，A+B+C=π，
∴A=

π

6

．
（Ⅱ）∵cosC=

1

3

，
∴sinC=

2 2

3

，
∴由余弦定理c²=b²+a²-2abcosC=2a²-2a²×

1

3

=

4

3

a²，
∴c=

2

3

a，
∴sinC=

2

3

sinA，而sinC=