（2011?保康县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，
（2011?保康县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设C...
（2011?保康县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是边BC延长线上的一点，连接AP交边CD于点E，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q，设CP=x，DQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）当点P运动时，△APQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请求出△APQ的面积S关于x的函数解析式，并写出定义域；如果不发生变化，请说明理由；（3）当以4为半径的⊙Q与直线AP相切，且⊙A与⊙Q也相切时，求⊙A的半径．
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（1）在矩形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴
＝
，即
＝
，
∴y＝
，（1分）
定义域为x＞0．（1分）
（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ=
QE?AD+
QE?CP=
QE（AD+CP）=
QE?BP=DQ?BP=y×（x+4）=12；
所以△APQ的面积没有变化．
（3）过点Q作QF⊥AP于点F
∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=
，
∴AQ=EQ=2DE=
（1分）
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
=r+4，
∴r=
?4．（1分）
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即
∵AD∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又由题意，得∠QAD=∠DAP，
∴∠APB=∠QAD，
∵∠B=∠ADQ=90°，
∴△ADQ∽△PBA，（1分）
∴
| DQ |
| AB |
| AD |
| BP |
| y |
| 3 |
| 4 |
| x+4 |
∴y＝
| 12 |
| x+4 |
定义域为x＞0．（1分）
（2）不发生变化（1分）
证明如下：
∵∠QAD=∠DAP，∠ADE=∠ADQ=90°，AD=AD，
∴△ADE≌△ADQ，
∴DE=DQ=y；（1分）
∴S△APQ=S△AEQ+S△EPQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以△APQ的面积没有变化．
（3）过点Q作QF⊥AP于点F∵以4为半径的⊙Q与直线AP相切，
∴QF=4（1分）
∵S△APQ=12，
∴AP=6（1分）
在Rt△ABP中，
∵AB=3，
∴∠BPA=30°（1分）
∴∠PAQ=60°，此时AD=4，DE=
4
| ||
| 3 |
∴AQ=EQ=2DE=
8
| ||
| 3 |
设⊙A的半径为r，
∵⊙A与⊙Q相切，
∴⊙A与⊙Q外切或内切．
（i）当⊙A与⊙Q外切时，AQ=r+4，即
8
| ||
| 3 |
∴r=
8
| ||
| 3 |
（ii）当⊙A与⊙Q内切时，AQ=r-4，即
8
|
