Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）的长轴长是短轴

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 （a＞b＞0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为 3 2 ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线l与椭圆C交于两点M、N，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．

Answer 1

解析：（1）由已知得 2a=2×2b c a = 3 2 c 2 = a 2 - b 2 解得 a=2 b=1 ， 所以椭圆C的方程： x 2 4 + y 2 =1 ； （2）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k≠0，m≠0）， 联立 y=kx+m x 2 4 + y 2 =1  消去y并整理，得：（1+4k 2 ）x 2 +8kmx+4（m 2 -1）=0， 则△=64k 2 m 2 -16（1+4k 2 ）（m 2 -1）=16（4k 2 -m 2 +1）＞0， 此时设M（x 1 ，y 1 ）、N（x 2 ，y 2 ），则 x 1 + x 2 =- 8km 1+4 k 2 ， x 1 x 2 = 4( m 2 -1) 1+4 k 2 ， 于是y 1 y 2 =（kx 1 +m）（kx 2 +m）= k 2 x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 ， 又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列， ∴ y 1 x 1 ? y 2 x 2 = k 2 x 1 x 2 +km( x 1 + x 2 )+ m 2 x 1 x 2 =k 2 ?- 8 k 2 m 2 1+4 k 2 + m 2 =0， 由m≠0得： k 2 = 1 4 ?k= ± 1 2 ． 又由△＞0 得：0＜m 2 ＜2，显然m 2 ≠1（否则：x 1 x 2 =0，则x 1 ，x 2 中至少有一个为0，直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，矛盾！） 设原点O到直线l的距离为d，则 S △OMN = 1 2 |MN|d= 1 2 × |m| 1+ k 2 1+ k 2 | x 1 - x 2 | = 1 2 |m| ( x 1 + x 2 ) 2 -4 x 1 x 2 = -( m 2 -1 ) 2 +1 ， 故由m得取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）．