Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．（1）求四棱锥P-ABCD的体积；（2）证明：BD ∥ 平面PEC；（3）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．





Answer 1

（1）由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA ∥ EB，且PA=4 2 ，BE=2 2 ，AB=AD=CD=CB=4， ∴V P-ABCD = 1 3 PA×S ABCD = 1 3 ×4 2 ×4×4= 64 2 3 ． （2）证明：连接AC交BD于O点， 取PC中点F，连接OF， ∵EB ∥ PA，且EB= 1 2 PA， 又OF ∥ PA，且OF= 1 2 PA， ∴EB ∥ OF，且EB=OF， ∴四边形EBOF为平行四边形， ∴EF ∥ BD． 又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD ∥ 平面PEC． （3）连接BP，∵ EB AB = BA PA = 1 2 ，∠EBA=∠BAP=90°， ∴△EBA ∽ △BAP，∴∠PBA=∠BEA， ∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°， ∴PB⊥AE． 又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE， ∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG．