Question

已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）证明：BN⊥平面C1B1N；（Ⅱ）设直线C1N与平面CNB1所成的角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
则B₁C₁⊥面ABB₁N，且在面ABB₁N内，易证∠BNB₁为直角．∵B₁C₁⊥面ABB₁N，且BN?面ABB₁N，∴B₁C₁⊥BN又∵BN⊥B₁N，且B₁N∩B₁C₁=B₁，∴BN⊥面B₁NC₁
方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
则BA，BC，BC₁两两垂直．
以BA，BC，BC₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），∵

BN

?

NB1

=0，

BN

?

B1C1

=0∴BN⊥NB₁，且BN∩B₁C₁，又∵B₁N∩B₁C₁=B₁∴BN⊥面B₁NC₁…6分
（2）方法一：利用等体积法可求C₁到面CB₁N的距离为h=

4 6

3

，
则直线C₁N与平面CNB₁所成的角θ的正弦值为sinθ=

2

3

，从而cosθ=

7

3

方法二：设

n

=(x0，y0，z0)为平面CNB₁的一个法向量，
则

n ? CN =0 n ? NB1 =0

即

x0+y0-z0=0 x0-y0=0

，令x₀=1，则

n

=(1，1，2)．
又

C1N

=(4，-4，4)
则sinθ=|cos＜

n

，

C1N

＞|=

2

3

，从而cosθ=

7

3

…12分