Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.（1）证明： ⊥平面 （2）求平面 与平面 所成角的余弦值；

Answer 1

（1）通过建系证明 ， ．得到 , .故 ⊥平面 . （2）二面角C－NB 1 －C 1 的余弦值为 ．

试题分析：（1）证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴ 两两垂直.以 分别为 轴建立空间直角坐标系如图． 则 ． ∴ ， ．∴ , . 又 与 相交于 ， ∴ ⊥平面 . ………6分 （2）∵ ⊥平面 ,∴ 是平面 的一个法向量 ,   设 为平面 的一个法向量,则 , 所以可取 ． 则 ． ∴所求二面角C－NB 1 －C 1 的余弦值为 ．  12分 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。证明过程中，往往需要将立体几何问题转化成平面几何问题加以解答。本题解答，通过建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标运算，简化了繁琐的证明过程，实现了“以算代证”，对计算能力要求较高。