Question

关于基本不等式公式：根号ab《(a+b)/2《根号（a^2+b^2）/2

当a=b时（a+b）/2=根号ab 有最小值，当a=b时，（a+b）/2=根号（a^2+b^2）/2有最大值，，是吧。。那就是说（a+b）/2的最大最小值都在a=b时取到且一样吗？
求明确说明（我逻辑有问题，说明白点）

Answer 1

你的逻辑确实有点乱，
这个不等式是对任意正数a、b恒成立的。
如果对a和b没有其他约束的话，这几个值只存在这样的不等关系，谈不上（a+b）/2的最值。

如果想用这个不等式求最值，必须存在a和b的其他约束关系。

例1.已知ab=1，求（a+b）的最小值。
解：由于根号ab《(a+b)/2，
当a=b时，（a+b）最小值为2*根号ab=2*1=2。
此时（a+b）无最大值。

例2.已知根号（a^2+b^2）/2=1，求（a+b）的最小值。
解：由于（a+b)/2《根号（a^2+b^2）/2，
当a=b时，（a+b）最大值为2*根号（a^2+b^2）/2=2*1=2。
此时（a+b）无最小值。

所以，要根据具体情况，选择用哪个不等式，才能正确地求出最值。
如有不懂，尽管追问。

追问

已知ab=1时，因为 根号ab《(a+b)/2《根号（a^2+b^2）/2 ，所以根号ab也《根号（a^2+b^2）/2对吧？那么 根号（a^2+b^2）/2的最小值也是1了，所以(a+b)/2的最大值也是1了，那就是最大最小值都是1喽

追答

不对！
根号（a^2+b^2）/2的最小值也是1，没问题，
这不表示根号（a^2+b^2）/2只能取1，
它可以是1到正无穷之间的任何实数，
只要a不等于b，根号（a^2+b^2）/2就大于(a+b)/2

比如说，当a=1/2，b=2时，(a+b)/2=5/4，根号（a^2+b^2）/2=根号(17/8)
当a=1/9999，b=9999时，(a+b)/2很大，根号（a^2+b^2）/2更大
所以，(a+b)/2的最大值可以无穷大，是不存在的，
因为没有对根号（a^2+b^2）/2进行约束。

Answer 2

还需要有定值，如果ab为定值 a=b那个式子可以取到最小值
如果 a^2+b^2为定值 a=b那个式子可以取到最大值。

Answer 3