Question

已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD于点P，OE⊥AB于点E，F为BC延长线上一点

（1）求证：∠DCF=∠DAB
（2）求证：OE=1/2CD
（2）当图1中点P运动到圆外时，即AC、BD的延长线交于点P，且∠P=90°时（如图2所示），（2）中的结论是否成立？如果成立请给出你的证明，如果不成立，请说明理由

Answer 1

分析：（1）利用三角形外角的性质可以得到∠DCF=∠CBD+∠CDB，再根据∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB即可得到结论；
（2）连接AO并延长交⊙O与点G，连接GB，利用三角形中位线的性质即可得到OE＝ 1/2CD．
（3）结论仍然成立，证明方法同（2）．
解答：（1）证明：∵∠DCF是△BDC的外角，
∴∠DCF=∠CBD+∠CDB．
∵∠CBD=∠DAC，∠CDB=∠CAB，
∴∠DCF=∠DAB
（2）解：连接AO并延长交⊙O与点G，连接GB，
∵AG过O点，为圆O直径，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE＝1/2BG．
∵AC⊥BD，
∴∠APD=90°．
∴∠DAP+∠ADP=90°．
∵∠BAG+∠G=90°．且∠ADP=∠G，
∴∠DAP=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE＝1/2CD．
（3）解：（2）的结论成立．
证明：连接AO并延长交⊙O于点G，连接GB，
∴∠ABG=90°．
∵OE⊥AB于点E，
∴E为AB中点．
∴OE＝1/2BG．
由（1）证明可知，∠PDA=∠G，
∴∠PAD=∠BAG．
∴CD=BG．
∴OE＝1/2CD

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。圆满结束。。。。。。。。。。。。。。。。。。

追问

第一问：由题意，∠DCF+∠DCB=180°
又∵四边形ABCD为圆的内接四边形
∴∠DAB+∠DCB=180°
∴∠DCF=∠DAB

这么做更简单，你说呢？？

追答

这样也可以，我后来也想到了，这里我写的貌似麻烦了一点。。。。

Answer 2

⑴：∠DCF＋∠BCD＝180º，
又∠BCD＋∠DAB＝180º，
∴∠DCF=∠DAB；
⑵延长AO交⊙O于F，连结BF，
∴FB⊥AB，
又OE⊥AB，AC⊥BD
∴OE＝1/2FB，
∠BAF＝90º－∠F，
∠CAD＝90º－∠ADB，
∠F＝∠ADB，
∴∠BAF＝CAD，
∴弧BF＝弧CD，
∴BF＝CD，
OE＝1/2CD。
⑶）（2）中的结论成立如果成立。证明参照⑵。