Question

在计算二重积分,当区域是一个圆或者椭圆时,可以直接用圆或椭圆面积公式，而当计算投影（圆或椭圆）时

却要进行积分？eg当投影区域 D：.(x/a)^2+(y/b)^2<=1时，计算的I=∫∫(x/a)^2+(y/b)^2在D上， 结果就不等于πab

Answer 1

对，结果等于πab，直接就是椭圆的面积

但如果积分区域的投影是椭圆或者圆的话，
积分乘以投影角度的正弦或者余弦的平方（具体问题需要具体分析），才能得到圆或者椭圆的面积
而不能直接的算成投影部分的面积

追问

可能是我没有表述清楚，现在当积分区域的投影就是D，如上所说，投影区域 D：.(x/a)^2+(y/b)^2<=1时，计算的I=∫∫(x/a)^2+(y/b)^2dxdy在D区域上积分，结果是1/2*πab，它是用积分算得，不是直接带的椭圆的面积的公式，为什么不能直接带入面积公式

追答

对呀，积分区域的投影是D当然不能直接代，如果积分区域是D的话可以直接代入

追问

但是它确实是在D区域上积分的啊，这里的积分域就是D，例如，投影到xoy面上的区域就为D.
(x/a)^2+(y/b)^2<=1，在做积分时你总是在D上积分，不可能到原没投影之前的那个面上做积分啊，在求I=∫∫(x/a)^2+(y/b)^2dxdy时积分域就为D，不知道我这样表述，清不清楚我问的问题。