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用分部积分求∫e^xsinx的不定积分
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解答过程如下:
∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=sinx e^x-∫e^x d(sinx)= sinx e^x-∫e^x cosx dx
对第二项再用一次分部积分法
∫e^x cosx dx=∫cosxd(e^x)=cosx e^x-∫e^x d(cosx)
= cosx e^x+∫e^x sinx dx
代入第一个等式,可得
∫e^x sinx dx=sinx e^x- [cosx e^x+∫e^x sinx dx]
粗体部分移到同一侧,可得
∫e^x sinx dx=½ e^x[sinx - cosx]+C
分部积分法的意义:
分部积分法是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式,转化为等价的易求出结果的积分形式的。
常用的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型,将分部积分的顺序整理为口诀:“反对幂指三”。分别代指五类基本函数:反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数的积分。
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∫e^xsinxdx
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2
附:可以查看百度百科的“分部积分法”条目中的四种常见模式,本题属于第三种模式
有疑问欢迎追问,如果满意请采纳!
=∫sinxde^x
=sinxe^x-∫e^xdsinx
=sinxe^x-∫cosxe^xdx
=sinxe^x-∫cosxde^x
=sinxe^x-(cosxe^x-∫e^xdcosx)
=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx
2∫e^xsinxdx=sinxe^x-cosxe^x
∫e^xsinxdx=e^x(sinx-cosx)/2
附:可以查看百度百科的“分部积分法”条目中的四种常见模式,本题属于第三种模式
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