Question

如何证明三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

Answer 1

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
①先证明：a+b＞c；
∵a、b、c都为正数
∴要使得a+b＞c成立，只需证明(a+b)²＞c²，即：
(a+b)²-c²＞0
根据余弦定理，可得：
cosC=（a²+b²-c²）/2ab=[(a+b)²-c²-2ab]/2ab；
移项得：
(a+b)²-c²=2ab（2+cosB）；
对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；
∴1＜（2+cosB）＜2；
又∵a、b都是正数；
∴2ab（2+cosB）＞0，即(a+b)²-c²＞0，即：
∴a+b＞c；
②对于a+c＞b和b+c＞a的情况证明是类似的；
③两边之差小于第三边，可由两边之和大于第三边的变式可证明。