Question

高数对坐标的曲面积分，急。。。

∫∫e^z/√(x^2+y^2 ) dydz，∑为上半锥面，z=√(x^2+y^2 )及平面z=1，z=2所围的立体表面的外侧。

Answer 1

把本题的封闭曲面分成3片解决：记∑1是z=1，∑2是z=2，∑3是z=√(x^2+y^2 )
利用对坐标的曲面积分的计算公式，直接化成二重积分来求。
因为，所求的曲面积分∫∫e^z/√(x^2+y^2 ) dydz是对坐标【y】，【z】的，
所以，是化成【yoz】坐标面上的二重积分，
是把∑1，∑2，∑3分别投影到【yoz】坐标面上，来作为相应的二重积分的积分区域。
而，∑1与∑2在yoz坐标面上的投影为0，所以，这两片上的曲面积分都=0。
又，需将∑3分成2片：前片与后片，
而由于，题目给出为立体表面的外侧，所以，
前片化成二重积分时应该取正号，后片化成二重积分时应该取负号，从而在∑3上的积分也=0。
故原式=0。

解法2，用高斯公式，对号入座：P=e^z/√(x^2+y^2 )，Q=R=0，
P’x=ye^z/√(x^2+y^2 )，Q’y=R’z=0，
原式化成三重积分=∫∫∫（Ω）ye^z/√(x^2+y^2 )dv，其中Ω是∑1，∑2，∑3围成的立体，
Ω是一个（倒置的）圆台，
采用柱面坐标计算Ω上的这个三重积分=
=∫（0到2∏）dθ∫（0到1）rdr∫（1到2）rsinθ*e^z/√(r^2)dz，
其中，∫（0到2∏）sinθdθ=0，得到原式=0。