Question

多元函数微分学中，用拉格朗日乘数法求条件极值，需要考虑λ＝0吗，如何跳过λ解出相应的未知量？

Answer 1

需要考虑λ=0，从前几个式子中找出x，y，z之间的关系，然后带入到φ ( x,y,z ) = 0 \varphi (x,y,z)=0φ(x,y,z)=0 中解出来。先求出λ\lambdaλ的值，化简式子。目标函数的极值可以用λ \lambdaλ表示，然后只用求 λ \lambdaλ 即可。

多元函数

设D为一个非空的n 元有序数组的集合， f为某一确定的对应规则。若对于每一个有序数组 ( x1,x2,…,xn)∈D，通过对应规则f，都有唯一确定的实数y与之对应，则称对应规则f为定义在D上的n元函数。

记为y=f(x1,x2,…,xn) 其中 ( x1,x2,…,xn)∈D。 变量x1,x2,…,xn称为自变量，y称为因变量。

当n=1时，为一元函数，记为y=f(x),x∈D，当n=2时，为二元函数，记为z=f(x,y),(x,y)∈D。二元及以上的函数统称为多元函数。

Answer 2

用拉格朗日乘数法求条件极值，需要考虑λ＝0，具体跳过λ解出相应的未知量方法如下。

然后就可以得到f=0，gxfy=gyxf。

在数学最优问题中，拉格朗日乘数法（以数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法。

这种方法将一个有n 个变量与k 个约束条件的最优化问题转换为一个有n + k个变量的方程组的极值问题，其变量不受任何约束。

这种方法引入了一种新的标量未知数，即拉格朗日乘数，约束方程的梯度（gradient）的线性组合里每个向量的系数。

此方法的证明牵涉到偏微分，全微分或链法，从而找到能让设出的隐函数的微分为零的未知数的值。