Question

证明：“等腰三角形两底角平分线相等”的逆命题。

各位数学高手，快点证明一下啊！请写出证明过程，对的话加分！

Answer 1

两底角平分线相等的三角形是等腰三角形
作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
∵BE=DC
∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
∴∠FBC=∠CEF
∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
∴∠FBC=∠CEF>90°
∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
设垂足分别为G、H;
∠HEF=∠CBG;
∵BC=EF,
∴Rt△CGB≌Rt△FHE
∴CG=FH,BC=HE
连接CF
∵CF=FC,FH=CG
∴Rt△CGF≌△FHC
∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC
这个定理是斯坦纳—莱默斯定理，定理内容是：有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。或： 两内角的平分线相等的三角形是等腰三角形
　　证明一：
　　设三角形ABC，角B、角C的平分线是BE、CD
　　作∠BEF=∠BCD;并使EF=BC
　　∵BE=DC
　　∴△BEF≌△DCB,BF=BD,∠BDC=∠EBF
　　设∠ABE=∠EBC=α,∠ACD=∠DCB=β
　　∠FBC=∠BDC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
　　∠CEF=∠FEB+∠CEB=β+180-2β-α=180°-(α+β);
　　∴∠FBC=∠CEF
　　∵2α+2β<180°,∴α+β<90°
　　∴∠FBC=∠CEF>90°
　　∴过C点作FB的垂线和过F点作CE的垂线必都在FB和CE的延长线上.
　　设垂足分别为G、H;
　　∠HEF=∠CBG;
　　∵BC=EF,
　　∴Rt△CGB≌Rt△FHE
　　∴CG=FH,BG=HE
　　连接CF
　　∵CF=FC,FH=CG
　　∴Rt△CGF≌△FHC
　　∴FG=CH,∴BF=CE,∴CE=BD
　　∵BD=CE,BC=CB,∴△BDC≌△CEB
　　∴∠ABC=∠ACB
　　∴AB=AC
　　证明二：
　　设二角的一半分别为α、β
　　sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β,
　　∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0
　　→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0
　　→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0
　　→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0
　　，∴sin[(α-β)/2]＝0
　　∴α＝β,∴AB=AC.
　　证明三：
　　用张角定理：
　　2cosα/BE=1/BC+1/AB
　　2cosβ/CD=1/BC+1/AC
　　若α>β 可推出AB>AC矛盾！
　　若α<β 可推出AB<AC矛盾！
　　所以AB=AC

Answer 2

两底角平分线相等的三角形是等腰三角形 利用全等证明,先证明外面的一对全等,然后对应角相等,在加上角平分线大的角也相等了,最后利用等角对等边,