Question

已知函数f(x)=(a/3)x^3(1/2)(a+1)x^2+x-1/3,

Answer 1

(1)
f(x)的导数=ax^2-(a+1)x+1，因为f(x)在（2，f(2)）点的切线方程为9x-y+b=0
所以f(2)点的导数=a2^2-(a+1)2+1=9，解得a=5
把a=5，x=2带入函数f(x)解得f(2)=3
把x=2，f(2)=3带入9x-y+b=0，解得b=-15
(2)
令f(x)的导数ax^2-(a+1)x+1=0，解得x1=1/a x2=1
又因为a<=0，导函数的开口方向向下
所以单调递减区间为x<1/a，或x>1
(3)
对于一切实数0<a<1，1/a>1
f(x)的单调递增区间为 负无穷<x<1 或 x>1/a
f(x)的单调递减区间为 1/a<x<1
所以f(x)在x=1处取得极大值 f(1)=1/6-a/6
f(x)在x=1/a处取得极小值 f(1/a)=1/2a=1/6a^2-1/3

因为当 x>1/a时函数单调递增，所以最大值在正无穷处取得，最大值为正无穷
如有不懂可以追问

Answer 2

,f'(x)=ax^2-(a+1)x+1

由题意得f'(2)=4a-2(a+1)+1=9,得到a=5
f(x)=5x^3/3-3x^2+x-1/3
f(2)=40/3-12+2-1/3=3
故有9*2-3+b=0,得到b=15.
(2)f'(x)=[ax-1][x-1]=a(x-1/a)*(x-1)<0
由于a<=0,故有
(i)a=0时有f'(x)=-x+1<0,得到x>1,即单调减区间是(1,+OO)
(ii)a<0,f'(x)=a(x-1/a)*(x-1)<0,解得x>1或x<1/a即单调减区间是(-无穷,1/a)和(1,+OO)
(3)由于0<a<1,f'(x)=0解得x1=1/a,x2=1,且有x1>x2
当1<x<1/a时有f'(x)<0,单调减,当x<1,x>1/a时有f'(x)>0,单调增.
故有当x=1/a时有极小值,即有f(1/a)=a/3*1/a^3-1/2(a+1)*1/a^2+1/a-1/3
f(1/a)=1/(3a^2)-1/(2a^2)-1/(2a)+1/a-1/3=-1/(6a^2)-1/(2a)-1/3=-1/6[1/a^2+3/a]-1/3=-1/6(1/a+3/2)^2+1/6*9/4-1/3=-1/6(1/a+3/2)^2+1/24
由于有1/a>1,故有最大值是f(1)=-1

Answer 3

求导：f(x)的导函数等于ax^2-(a+1)x+1
<1>将x=2带人导函数，得到导函数=直线斜率(斜率为9） 的方程可解得a=3，再将a=3带入切线方程得b=
<2>解导函数=0时的方程得x=1或x=a，∵a≤0，当x小于等于a时和大于1时， 导函数＜0∴（-∞，a）和（1，+∞）时为减区间
<3>极小值x=a时，最大值x=1时
骚年努力吧