Question

AX+XB=C 矩阵方程解法

Answer 1

这是Sylvester方程, 存在唯一解的充要条件是A和-B没有公共特征值

至于解法, 主要有两大类

一类是直接写成关于X的分量的线性方程组
(I※A+B※I)vec(X)=vec(C)
其中※表示Kronecker乘积, vec表示把矩阵按列拉成一个长条向量的运算

另一类是通过相似变换
PAP^{-1} PXQ^{-1} + PXQ^{-1} QBQ^{-1} = PCQ^{-1}
也就是说可以随意对A和B做相似变换
由于任何复矩阵都能上三角化, 可以把A或B化成上三角阵(当然也可以都上三角化, 取决于代价)
比如说把A上三角化之后PXQ^{-1}就可以逐行求解了

一般来讲实际计算的时候小矩阵用前一种方法, 大矩阵用后一种方法, 理论分析的时候则看具体需求