Question

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)^(x+n)展开式中x的(n－2)次幂的系数怎么求？

Answer 1

x^n的系数是1
x^(n-1)的系数是（1＋2＋3…+n)
x^(n-2)的系数是任意两个括号内的常数相乘然后再加起来，[(1×2＋1×3…+1×n)＋(2×3＋2×4…+2×n)＋(3×4＋3×5…+3×n)……+（n－1）×n]
x^(n-3)的系数是任意3个括号里面的常数相乘再相加，即n个括号里面取3个括号里的常数相乘，再将他们加起来，到这里已经很是复杂了。
同样的有x^(n-4)的系数是取4个括号里的常数相乘再加起来...
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.到倒数第2项x的系数跟第2项的系数相同，
最后一项是一个常数项（1×2×3...×n）
系数是程组合的方式分布的，即第一项和最后一项系数相同（最后一项系数为1），第2项与倒数第2项相同，第3项与倒数第3项相同...
如果不明白的话，你把n取小一点，姑且用n＝4来演算一下(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)，你就会明白的。

Answer 2

=(1×2+1×3+…+1×n)+(2×3+…+2×n)+… +(n-1)n
=1×2+(1+2)×3+…+[1+…+(n-1)]n
则上式每项的通式是（n^3-n^2）/2
把n从2取到n，然后把每项相加、
得[(2^3+3^3+…+n^3)-(2^2+3^2+…+n^2)]/2
而2^3+3^3+…+n^3=(1+2+…+n)^2-1；2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6-1
代入得={(1+2+…+n)^2-1-[n(n+1)(2n+1)/6-1]}/2=(3n^4+2n^3-3n^2-2n)/24
即(n－2)次幂的系数为(3n^4+2n^3-3n^2-2n)/24