Question

点P在椭圆X的平方/16+y的平方/9上，求点P到直线3X-4y=24的最大距离和最小距离，求详解

Answer 1

答：椭圆x²/16+y²/9=1
直线3x-4y=24的平行线为y=3x/4+d
代入椭圆方程整理得：
9x²+12dx+8d²-8=0
点P到直线3x-4y=24距离最大或者最小，则其平行线
与椭圆仅有一个交点并且经过点P。
判别式=(12d)²-4*9*(8d²-72)=0
解得：d=±3√2
所以：平行直线为y=3x/4±3√2
所以：平行直线为3x-4y±12√2=0
与直线3x-4y=24即3x-4y-24=0的距离为：
(8±4√2）*（3/5)=(24±12√2)/5

所以：最大距离为)(24+12√2)/5，最小距离为(24-12√2)/5

Answer 2

设x=4cosa y=3sina
则点P（4cosa,3sina）到直线3x-4y-24=0的距离
d=|12cosa-12sina-24|/√(3²+4²)=(12/5)|sina-cosa+2|
∵sina-cosa=√2sin(a-π/4)，最大值是√2
∴d的最大值是(12/5)×(√2+2)=12√2/5+24/5

Answer 3

设P点坐标为(4cosθ,3sinθ)则
P到直线3X-4y=24的距离d=|12cosθ-12sinθ-24|/5=|12√2sin(θ-π/4)+24|/5
当sin(θ-π/4)=1时取得最大值(12√2+24)/5,所以最大距离为(12√2+24)/5
当sin(θ-π/4)=-1时取得最大值(24-12√2)/5,所以最大距离为(24-12√2)/5