Question

这个有关偏导数和极限的问题，有图

Answer 1

这是不一定的，这个问题其实相当复杂，我自己曾经都想了很久。

如果f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)都存在，那么f'(x0,y0)存在，即函数f(x,y)可偏导。
但是，多元函数中，可偏导未必连续，而连续要保证lim(x→x0，y→y0)f(x,y)存在且等于f(x0,y0)
因此，未必连续也就是lim(x→x0，y→y0)f(x,y)可能不存在，或者lim(x→x0，y→y0)f(x,y)存在但不等于f(x0,y0)

举例子：当(x,y)≠(0,0)时，f(x,y)={xy/(x²+y²) ，当(x,y)=(0,0)时，f(x,y)=0，求f(x,y)在（0,0）处的偏导数。
解：按偏导数定义
f'x(0,0)=0，f'y(0,0)=0
但是lim(x→0，y→0)f(x,y)的极限未必存在，可以取y=kx，代入知
lim(x→0，y→0)f(x,y)=k²/(1+k²)，其极限与k有关，因此极限不存在。

既然偏导数不能推出连续，那么问题来了，如果函数各个方向上的方向导数都存在，是否能推出连续？这也是不能的。这个问题需要你自己深刻理解！

追问

非常感谢

Answer 2

不一定。其实就是偏导数是否存在与函数在该点是否连续的问题，二者没有必然关系

Answer 3

不一定存在。