Question

已知函数f(x)=2x^2-3x+1,g(x)=ksin(x-π/6)，(k≠0) 。

已知函数f(x)=2x^2-3x+1,g(x)=sin(2x-π/6) ,若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2]，使f(x1)=kg(x2)成立，求实数k的取值范围。

Answer 1

配方f(x)=2x²-3x+1=2(x-3/4)²-1/8;
所以，当x1∈[0,2]时，f(x)∈[-1/8,3]
当x2∈[0,2]时，2x2-π/6∈[-π/6 , 4--π/6], ( 4--π/6≈188°)
sin(2x2-π/6)∈[-1/2 , 1],
所以，k＞0时，kg(x2)∈[-1/2k , k], k＜0时，kg(x2)∈[k,-1/2k ],
（1）k＞0时，由题意，[-1/8,3]包含于[-1/2k , k]
所以，-1/2k≤-1/8 且 k≥3，得 k≥3
（2） k＜0时，由题意，[-1/8,3]包含于[k,-1/2k ],
所以，k≤-1/8 且-1/2k ≥3，得 k≤-6
综上，实数k的取值范围为(-∞，-6]∪[3，+∞）.

Answer 2