Question

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，AD=6，BD=2，求CD的长．

小红同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设CD=x，利用勾股定理，求出CD的长．
特别是第二问
要步骤
这是日照2012年期末题

Answer 1

（1）证明;∵轴对称

∴∠E=∠ADB=90° ∠EAB=∠DAB AE=AD ∠F=∠ADC=90° ∠FAC=∠DAC AF=AD

∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=45°

∴∠EAF=2(∠BAD+∠CAD)=90°

∵∠E=∠F=∠EAF=90

°∴四边形AEGF是矩形

∵AE=AD=AF

∴矩形AEGF是正方形

（2）∵正方形

∴AE=AF=EG=FG=AD=2 ∠G=90°

∵轴对称

∴BE=BD=2 CF=CD=X

∴BG=EG-BE=6-2=4 CG=GF-CF=6-X

∵BG²+CG²=(BD+CD)²

∴4²+(6-X)²=(2+X)²

∴CD=X=3

Answer 2

（2）设CD=x，则CF=CD=x
BE=BD=2
BG=EG-BE=6-2=4
CG=FG-CF=6-x
BC=BD+CD=2+X
利用勾股定理，BC^2=BG^2+CG^2
即（2+x)^2=16+(6-x)^2
解方程得：x=3