Question

求一道数学题

如图，已知△ABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，P为BE、CD的交点。

①：证明：BD+CE=BC
∵∠BPC=90°+1/2∠A=120°
∴∠BPD=∠BPF=∠CPF=∠CPE=60°
又∵∠1=∠2，CP=CP
∴△CPF全等于△CPE
∴CF=CE
故BC=BF+CF=BD+CE
②拓展 由上及角平分线性质可得：
AD+AE=根号3倍的AP
请求证第二问

Answer 1

连接AP则AP平分∠BAC
∠DPE=360°-60°-60°-120°=120°
设∠APD=a，则：∠APE=120°-a ，
在△ADP中 ∠ADC=180°-30°-a=150°-a
AD/sin(a)=AP/sin(150°-a）<-----正弦定理
AD=APsin(a)/sin(150°-a）=APsin(a)/sin(30°+a）
同理在△AEP中可得：
AE=APsin（120°-a）/sin（30°+a）=APsin（60°+a）/sin（30°+a）
AD+AE=APsin（60°+a）/sin（30°+a）+APsin（120°-a）/sin（30°+a）
=AP（（sin(a)+sin（60°+a））/sin（30°+a）
=AP（2sin(a+30°）con（30°））/sin（30°+a）
=AP√3

Answer 2

P是△ABC内心，过P作PM、PN、PL分别垂直于AB、AC、BC
易证AM=AN，CN=CL，BM=BL
要证AD+AE=√3AP等价于AB+AC-BC=2AP*cos30°=AM+AN
等价于AB+AC-AM-AN=BC等价于BM+CN=BL+CL
该式显然成立，得证。