Question

高中导数习题，求高手解答

已知函数f（x）=p1nx+（p-1）x2+1．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；
（3）证明：1n（n+1）＜1+ 1/ 2 + 1/ 3 +…+ 1/n
（n∈N+）．

Answer 1

此题考点是：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

专题：计算题；证明题；综合题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．

分析：（1）利用导数来讨论函数的单调性即可，具体的步骤是：（1）确定 f（x）的定义域；         （2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，分离参数等价于k≥（1+lnx）/  x   ，利用导数求函数h（x）=（1+lnx）/  x的最大值即可求得实数k的取值范围；（3）由（2）知，当k=1时，有f（x）≤x，当x＞1时，f（x）＜x，即lnx＜x-1，令x=（n+1）/n ，则得In·（n+1)/n ＜ 1/n ，利用导数的运算法则进行化简，然后再相加，即可证得结论。

解答：

点评：此题是个难题．本题主要考查导数的概念、利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式和利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想．

Answer 2

Answer 3

这个不好打,给你说下大体思路吧(其实这种题很普遍的,要注意积累)
第一问,要么用定义,要们用函数
第二问,恒成立,只需求最小值小于等于后面的就行了.当然前面的步骤可以选择分离参变量,或是不分
第三问,方法很多,可以借鉴前面的