Question

3若n阶方阵A满足 A^2-3A=E 求 (A+2E)^(-1)

Answer 1

首先，由题意可得：
𝐴
2
−
3
𝐴
=
𝐸
A
2
−3A=E
将式子移项得：
𝐴
2
−
3
𝐴
−
𝐸
=
0
A
2
−3A−E=0
根据二次方程求根公式，可得：
𝐴
=
3
±
13
2
A=
2
3±
13

因此，$A$ 的特征值为 $\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$，$\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$。
由矩阵 $A$ 的特征值可知，$A$ 可对角化，即存在可逆矩阵 $P$，使得 $A = PDP^{-1}$，其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线元素为 $A$ 的特征值。
设 $B = A + 2E$，则有：
𝐵
−
1
=
(
𝐴
+
2
𝐸
)
−
1
=
(
𝑃
𝐷
𝑃
−
1
+
2
𝑃
−
1
𝐸
𝑃
)
−
1
=
(
𝑃
(
𝐷
+
2
𝐸
)
𝑃
−
1
)
−
1
=
𝑃
(
𝐷
+
2
𝐸
)
−
1
𝑃
−
1
B
−1
=(A+2E)
−1
=(PDP
−1
+2P
−1
EP)
−1
=(P(D+2E)P
−1
)
−1
=P(D+2E)
−1
P
−1
因此，只需要求出 $(D+2E)^{-1}$ 即可。由于 $D$ 是对角矩阵，$D+2E$ 也是对角矩阵，其对角线元素为 $d_{ii}+2$，因此：
(
𝐷
+
2
𝐸
)
−
1
=
[
1
𝑑
11
+
2

0

⋯

0
0

1
𝑑
22
+
2

⋯

0
⋮

⋮

⋱

⋮
0

0

⋯

1
𝑑
𝑛
𝑛
+
2
]
(D+2E)
−1
=
⎣
⎡

d
11

+2
1

0
⋮
0

0
d
22

+2
1

⋮
0

⋯
⋯
⋱
⋯

0
0
⋮
d
nn

+2
1

⎦
⎤

所以，最终的结果为：
(
𝐴
+
2
𝐸
)
−
1
=
𝑃
(
𝐷
+
2
𝐸
)
−
1
𝑃
−
1
=
[
1
𝑑
11
+
2

0

⋯

0
0

1
𝑑
22
+
2

⋯

0
⋮

⋮

⋱

⋮
0

0

⋯

1
𝑑
𝑛
𝑛
+
2
]
(A+2E)
−1
=P(D+2E)
−1
P
−1
=
⎣
⎡

d
11

+2
1

0
⋮
0

0
d
22

+2
1

⋮
0

⋯
⋯
⋱
⋯

0
0
⋮
d
nn

+2
1

⎦
⎤