Question

设A是阶矩阵,且满足A^3=2E,矩阵B=A^2-2A+4E求证B可逆,并且求出B^-1

当A^3=6E时，可以通过因为 A^3-6E=0
所以 A(A^2-2A+4E) +2A^2-4A -6E = 0
所以 A(A^2-2A+4E) +2(A^2-2A+4E) -14E = 0
所以 (A+2E)(A^2-2A+4E)=14E
所以 B=A^2-2A+4E可逆, 且B^-1 = (1/14)(A+2E)的方式解，但当A^3=2E时，貌似分解不出来啊感觉
题目错了。后面那个应该是
B=A^2-2A+2E

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

由于A^3=2E
所以B^-1可以由A的最高次项为A^2的多项式表示
即B^-1=aA^2+bA+cE
则B^-1B=(A^2-2A+2E)(aA^2+bA+cE)=E
即 aA^4+bA^3+cA^2-2aA^3-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 2aA+2bE+cA^2-4aE-2bA^2-2cA+2aA^2+2bA+2cE=E.
所以 (2a-2b+c)A^2+(2a+2b-2c)A+(-4a+2b+2c)E=E
所以
2a-2b+c=0
a+b-c=0
2a-b-c=1
有唯一解 a=-1/5,b=-3/5,c=-4/5.

所以 B可逆, 且 B^-1=(-1/5)(A^2+3A+4E).

Answer 3

设 B^-1=aA^2+bA+cE.
(aA^2+bA+cE)(A^2-2A+2E)=E
A^3=0, A^4=0
得出: a=1/4, b=1//2, c=1/2.
即: B^-1=0.5(0.5A^2+A+E)