Question

设向量a=(4cosa,sina),b=(sinB,cosB),c=(cosB,-4sinB).(1)若a与b-2c垂直，求tan(a+B)值 （2）求/b+C/最大

Answer 1

1
a⊥(b-2c)，即：a·(b-2c)=a·b-2a·c=0
即：a·b=2a·c
a·b=(4cosα,sinα)·(sinβ,4cosβ)=4cosαsinβ+4sinαcosβ
=4sin(α+β)
a·c=(4cosα,sinα)·(cosβ,-4sinβ)=4cosαcosβ-4sinαsinβ
=4cos(α+β)
故：4sin(α+β)=8cos(α+β)
即：tan(α+β)=2
2
|b+c|^2=|b|^2+|c|^2+2b·c
=sinβ^2+16cosβ^2+cosβ^2+16sinβ^2+2(sinβcosβ-16sinβcosβ)
=1+16-30sinβcosβ=17-15sin(2β)
故：|b+c|的最大值：sqrt(17+15)=4√2
3
tanαtanβ=sinαsinβ/(cosαcosβ)=16
即：sinβ=16cosαcosβ/sinα
即：b=(sinβ,4cosβ)=(16cosαcosβ/sinα,4cosβ)
=(4cosβ/sinα)(4cosα,sinα)=(4cosβ/sinα)a
即：a∥b