Question

已知函数f(x)=2x²-kx-8

已知函数f(x)=2x²-kx-8
⑴当k=4时，求函数f(x)的单调区间
⑵设函数f(x)在〔-1,2〕上的最小值为g(k)，求g(k)的表达式

Answer 1

答：
（1）k=4时，f(x)=2x²-kx-8=2x²-4x-8=2(x-1)²-10
所以：f(x)的单调增区间为[1,+∞)，单调减区间为（-∞，1]

（2）f(x)=2x²-kx-8=2(x-k/4)²-k²/8-8
当对称轴x=k/4<=-1即k<=-4时，f(x)在区间[-1,2]上是增函数，f(x)>=f(-1)=2+k-8=k-6
所以：g(k)=k-6
当对称轴-1<=x=k/4<=2即-4<=k<=8时，f(x)在对称轴处取得最小值f(k/4)=-k²/8-8
所以：g(k)=-k²/8-8
当对称轴x=k/4>=2即k>=8时，f(x)在区间[-1,2]上是减函数，f(x)>=f(2)=8-2k-8=-2k
所以：g(k)=-2k
综上所述：
k<=-4，g(k)=k-6
-4<=k<=8，g(k)=-k²/8-8
k>=8，g(k)=-2k

Answer 2

f(x)=2x²-4x-8=2*（x-1）^2-10
开口向上，x≤1时单调递减；x≥1时单调递增

f(x)=2（x-k/4)^2-k^2/8-8
对称轴为x=k/4
当对称轴≤-1时，即k≤-4时，在x=-1处取得最小值
g(k)=f(-1)=k-6
当对称轴-1<k/4<2，即-4<k<8，时，在顶点处取得最小值
g(k)=-k^2/8-8
当对称轴k/4≥2时，即k≥8时，在x=2处取得最小值
g(k)=f(2)=-2k