Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD，

且PA=PD=（根号2/2）AD，设E,F分别为PC,BD的中点。
求：二面角B-PD-C的正切值。

Answer 1

解析：∵在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD
过P作PG⊥AD
∴PG⊥底面ABCD
∵PA=PD=（根号2/2）AD，E,F分别为PC,BD的中点
∴PA=PD=√2/2a
建立以G为原点，以GA方向为X轴，以AB方向为Y轴，以GP方向为Z轴正方向的空间直角坐标系G-xyz
则点坐标：G(0,0,0)，A(a/2,0,0)，B(a/2,a,0)，C(-a/2,a,0)，D(-a/2,0,0)，P(0,0,a/2)，E(-a/4,a/2,a/4)，F(0,a/2,0)
向量DP=(a/2,0,a/4)，向量DC=(0,a,0)，向量DB=(a,a,0)
设向量m=(x,y,z)是面PDB的一个法向量
向量m*向量DB=ax+ay=0
向量m*向量DP=a/2x+a/4z=0
令x=1，则y=-1，z=-2
∴向量m=(1,-1,-2)==>|向量m|=√6

设向量n=(x,y,z)是面PDC的一个法向量
向量n*向量DC=ay=0
向量n*向量DP=a/2x+a/4z=0
令x=1，则y=0，z=-2
∴向量n=(1,0,-2)==>|向量n|=√5
向量m*向量n=5
Cos<向量m,向量n >=(向量m*向量n)/(|向量m|*|向量n|)=5/(√5*√6)=√30/6
∴二面角B-PD-C的正切值√5/5