Question

若不等式xˆ2+ax+1≥0对于一切x∈(0.2]恒成立,则a的取值范围为

若不等式xˆ2+ax+1≥0对于一切x∈(0.2]恒成立,则a的取值范围为

Answer 1

若不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈(0.2]恒成立,则a的取值范围为
解：①y=x²+ax+1是一条开口朝上的抛物线，若其判别式Δ=a²-4≦0，即a²≦4，-2≦a≦2，则其
图像全部都在x轴的上方，且与x轴相切，因此对一切x∈R都有x²+ax+1≥0，那当然对x∈(0.2]也
成立；
②当判别式Δ=a²-4>0，即a²>4，a>2或a<-2时，抛物线y=x²+ax+1与x轴会相交；为使不等式x²+ax+1≥0对于一切x∈(0.2]恒成立,要考虑两种情况：一是抛物线的对称轴x=-a/2≦0，即a≥0时
必须满足f(0)=1>0，而这是没有问题的，故{a∣a>2或a<-2}∩{a∣a≥0}={a∣a>2}可取；二是对称
轴x=-a/2≥2，即a≦-4时，必须保证f(2)=4+2a+1=2a+5≥0，即a≥-5/2，这与a≦-4矛盾，故此情况
不存在。
结论：{a∣-2≦a≦2}∪{a∣a>2}={a∣a≥-2}，就是a的取值范围。

Answer 2

由于x是正数，所以本题是用基本不等式！

希望对你有帮助！

Answer 3

不等式转换为：a≥(-xˆ2-1)/x，因为x∈(0.2]恒成立，所以推得a≥-（x+1/x）的最大值，所以a≥-1，当且仅当x=1时去等号，所以a的范围a≥-1

Answer 4

方法一:

函数f(x)=X^2+aX+1的对称轴为X=-a/2，
当-a/2≥2，即a≤-4时，则需 f(2)≥0,解得 a≥-5/2，即无解
当-a/2≤0，即a≥0时，则需 f(0)≥0,此不等式恒成立，即a≥0
当0≥-a/2≥2，即-4≤a≤0时，则需f(-a/2)=1-a^2/4≥0，解得-2≤a≤2，即-2≤a≤0

综上，可得a的取值范围是 a≥-2
方法二:
x²+ax+1>=0
ax>=-x²-1
a>=-(x²+1)/x
要使x²+ax+1>=0对x∈(0，2]恒成立
那么a要大于等于-(x²+1)/x在x∈(0，2]上的最大值
而-(x²+1)/x=-(1/x+x)
我们知道函数f(x)=1/x+x在(0,1)上单调递减,在(1,2]上单调增
那么当x∈(0，2]时，f(x)>=f(1)，即f(x)>=2，即-(1/x+x)的最大值为-2
所以a>=-2，
即a的取值范围为(-∞，-2]

Answer 5

f(x)=xˆ2+ax+1
当Δ≤0时，显然对所有x满足f(x)≥0；
此时 a^2-4≤0， -2≤a≤2
当Δ＞0时，f(0)≥0，f(2)≥0，-a/2≤0或-a/2>2
a＞0
综上所述，a≥-2