Question

已知平面内,O,A,B,C,四点,若向量OC=x向量OA+y向量OB,(x,y∈R）

已知平面内,O,A,B,C,四点,若向量OC=x向量OA+y向量OB,(x,y∈R）
（1）若x+y=1，求证A、B、C三点共线
（2）若A、B、C三点共线，则实数x,y应满足怎么样的条件 充要条件的证明

Answer 1

（1）y=1-x，所以OC=x*OA+（1-y）*OB，.........................(1) AB=OB-OA..........................................................(2) AC=OC-OA=x*OA+（1-x）*OB-OA=（x-1)*OA-（x-1)*OB=（x-1）*[OA-OB]=（1-x）*[OA-OB]，即得： AC=（1-x）*AB，由共线定理得，向量AC与AB共线，所以点A,B,C共线。（2）由点A,B，C共线，则存在实数m，使得： AB=m*BC....................................（1）又已知OC=x*OA+y*OB...........................（2）又有：AB=OB-OA...................................(3) BC=OC-OB=x*OA+y*OB-OB=x*OA-（1-y）*OB.......................(4)由（1）（3）（4）得：OB-OA=mx*OA-m（1-y）*OB,移项得：（mx+1）*OA+（my-2）*OB=0，由向量恒等可得：mx+1=0，my-2=0；则my=2，mx=-1，两式相除得，y/x=-2，即y=-2x 。

Answer 2

(1)若x+y=1因为向量OC=x向量OA+y向量OB即(x+y)向量OC=x向量OA+y向量OBx向量OC+y向量OC=x向量OA+y向量OBx向量AC=y向量CB向量AC=y/x向量CB即向量AC与向量CB共线所以A、B、C三点共线(2)x,y应满足x+y=1理由：向量OC=x向量OA+y向量OB变形为[(x+y)-(x+y-1)]向量OC=x向量OA+y向量OBx向量OC+y向量OC=x向量OA+y向量OB+(x+y-1)]向量OCx向量AC=y向量CB+(x+y-1)]向量OCA、B、C三点共线AC与CB是共线向量而OC不与AC,CB共线故向量OC前系数为0x+y-1=0x+y=1