Question

已知f(x)=x^3-ax^2-3x①若f(x)在[1,+∞)上是增函数,求实数a范围②若x=3是f(x)极值点，求f(x)单调区间

Answer 1

f(x)=x^3-ax^2-3x
①
f'(x)=3x²-2ax-3
∵f(x)在[1,+∞)上是增函数
∴x≥1时，f'(x)≥0恒成立
即2ax≤3x²-3
2a≤3x-3/x恒成立
设g(x)=3x-3/x (x≥1)
需2a≤g(x)min
g'(x)=3+3/x²>0
∴g(x)是增函数
∴g(x)min=g(1)=0
∴2a≤0,
∴实数a范围是(-∞,0]
②
若x=3是f(x)极值点
则f'(3)=24-6a=0,a=4
∴f'(x)=3x²-8x-3=(x-3)(3x+1)
f'(x)>0解得x<-1/3或x>3
f'(x)<0解得-1/3<x<3
∴f(x)递增区间为(-∞,-1/3),(3,+∞)
递减区间为(-1/3,3)