设向量组α1,α2,α3线性无关,证明:向量组β1=α1+α2,β2=α1-α2,β3=α3线性无关 10
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设 k1β1+k2β2+k3β3=0
即 k1(α1+α2)+k2(α1-α2)+k3α3=(k1+k2)α1+(k1-k2)α2+k3α3=0
又因为 向量组α1,α2,α3线性无关
所以 k1+k2=0，k1-k2=0，k3=0
故 k1=k2=k3=0
由线性无关定义 有向量组β1, β2, β3线性无关
即 k1(α1+α2)+k2(α1-α2)+k3α3=(k1+k2)α1+(k1-k2)α2+k3α3=0
又因为 向量组α1,α2,α3线性无关
所以 k1+k2=0，k1-k2=0，k3=0
故 k1=k2=k3=0
由线性无关定义 有向量组β1, β2, β3线性无关
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