Question

函数极值的充要条件是什么呢？

Answer 1

一个函数能够取到极值的充要条件是: ①存在使导数等于0的点, 即在该点处 f' = 0。②使导数等于0的那个x值,左右两边导数符号相反。若 f'左 > 0，f'右 < 0，则为极大值。若 f'左 < 0，f'右 > 0，则为极小值。

在数学分析中，函数的最大值和最小值（最大值和最小值）被统称为极值（极数），是给定范围内的函数的最大值和最小值（本地 或相对极值）或函数的整个定义域（全局或绝对极值）。皮埃尔·费马特（Pierre de Fermat）是第一位发现函数的最大值和最小值数学家之一。

如集合理论中定义的，集合的最大值和最小值分别是集合中最大和最小的元素。 无限无限集，如实数集合，没有最小值或最大值。

极值是一个函数的极大值或极小值。如果一个函数在一点的一个邻域内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值。如果它比邻域内其他各点处的函数值都大（小），它就是一个严格极大（小）。该点就相应地称为一个极值点或严格极值点。

Answer 2

函数极值的充要条件有两个：一阶导数为零和二阶导数的符号。

1. 一阶导数为零：如果一个函数在某一点处的导数等于零，那么该点可能是函数的极值点。具体来说，如果函数 f(x) 在点 x=a 处可导，且 f'(a) = 0，则点 x=a 可能是极值点。

2. 二阶导数的符号：如果一个函数在某一点的一阶导数为零，并且该点的二阶导数存在，那么二阶导数的符号可以确定该点的极值类型。具体来说：
- 如果 f''(a) > 0，那么函数在点 x=a 处取得极小值。
- 如果 f''(a) < 0，那么函数在点 x=a 处取得极大值。
- 如果 f''(a) = 0，无法得出明确的结论，需要进一步分析。

需要注意的是，这只是充要条件之一，只能判断函数在导数为零的点附近是否存在极值点，而不能保证这些点都是函数的极值点。要确定具体的极值点，还需要进行进一步的分析和计算。此外，函数还可能存在在边界点或无界区间上的极值，这需要额外考虑。