Question

设数列{an}的前n项和为SN,点(N,SN/N)均在函数Y=-X+12的图像上

设数列{a(n)}的前n项和为Sn,点(n,S(n)/n)均在函数y=-x+12的图像上
1. 写出Sn关於n的函数表达式
2. 求证:数列{a(n)}是等差数列
3. 求数列{|a(n)|}的前n项的和

需要过程

Answer 1

解：
1.
x=n y=Sn/n代入函数方程
Sn/n=-n+12
Sn=-n²+12n
2.
n=1时，a1=S1=-1²+12×1=11
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=-n²+12n-[-(n-1)²+12(n-1)]=-2n+13
n=1时，a1=-2+13=11，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=-2n+13
a(n+1)-an=-2(n+1)+13+2n-13=-2，为定值。
数列{an}是以11为首项，-2为公差的等差数列。
3.
令an≥0 -2n+13≥0 n≤13/2 又n为正整数，n≤6，即数列前6项>0，从第7项开始，以后各项均<0
n≤6时，
Sn=|a1|+|a2|+...+|an|=a1+a2+...+an=11n-2n(n-1)/2=12n-n²
n≥7时，Sn=|a1|+|a2|+...+|an|=a1+a2+...+a6-a7-...-an
=-(a1+a2+...+an)+2(a1+a2+...+a6)
=-(12n-n²)+2(12×6-6²)
=n²-12n+72