设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f：A→B。
函数与映射的区别与联系：
相同点：
1、函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系。
2、函数与映射的对应都具有方向性。
3、A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性;即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应.(多值函数除外,这类函数一般不纳入函数的范畴)。
区别：
1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
2、函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应，也就是说，值域这个集合不能有剩余元素，而构成映射的像的集合是可以有剩余。
3、对于函数来说有先后关系，即定义域根据对应法则产生的值域，而对于映射来说没有先后关系，两个集合同时存在。
所以函数值域中的每个数都有定义域中的数和它对应，而映射像中的元素则不一定有原像中的元素与他对应。
扩展资料：
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：
1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象。
2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应。
函数的定义：
给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
元素：
输入值的集合X被称为f的定义域；可能的输出值的集合Y被称为f的值域。函数的值域是指定义域中全部元素通过映射f得到的实际输出值的集合。
注意，把对应域称作值域是不正确的，函数的值域是函数的对应域的子集。计算机科学中，参数和返回值的数据类型分别确定了子程序的定义域和对应域。
中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。
这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。
但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
参考资料来源：百度百科-映射
光点科技
2023-08-15 广告
一、定义
通常情况下，映射一词有照射的含义，是一个动词。在数学上，映射则是个术语，指两个元素集之间元素相互“对应”的关系名词；也指“形成对应关系”这一个动作动词。
1、设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应。
那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。
2、像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。
二、函数与映射的联系
函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系，函数与映射的对应都具有方向性，A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性;即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应。
三、、函数与映射的区别
1、函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。
2、函数要求每个值域都有相应的定义域与其对应，也就是说，值域这个集合不能有剩余元素，而构成映射的像的集合是可以有剩余。
3、对于函数来说有先后关系，即定义域根据对应法则产生的值域，而对于映射来说没有先后关系，两个集合同时存在。
扩展资料
1、映射中的两个集合A和B可以是数集，点集或由图形组成的集合以及其它元素的集合。
2、映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的。
3、映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有象，而这个象是唯一确定的.这种集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心。
4、映射允许集合B中的某些元素在集合A中没有原象，也就是由象组成的集合。
5、映射允许集合A中不同的元素在集合B中有相同的象，即映射只能是“多对一”或“一对一”。不能是“一对多”。
考资料来源：百度百科-映射
相同点:
(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系;
(2)函数与映射的对应都具有方向性;
(3)A中元素具有任意性，B中元素具有唯一性;即A中任意元素B中都有唯一元素与之对应.(多值函数除外,这类函数一般不纳入函数的范畴)
区别：
（1）通常函数一定是映射，映射不一定是函数。(多值函数一般不纳入函数的范畴)
（2）函数是一种特殊的映射，通常是指非空数集之间的映射；映射是建立在任意非空集合上的对应.
注意：
有时函数和映射的对应法则可以用含有两个变量的等式来表示，在函数中这个式子叫解析式
函数是一一对应关系。映射的每一个Y 不一定有对应的X。
映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明,函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个。
(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射,而其它三图中所示对应关系就是映射。)
或者说,设A B是两个非空的集合,如果按,某一个确定的对应关系f.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:B A为从集合A到集合B的一个映射
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：
1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象；
2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应；
映射的分类：
映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行：
1、根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）；
2、根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单的；
3、同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）。
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