Question

证明方程有且仅有一个实根

Answer 1

设函数f(x)=ln(1+x²)-x-1
x取任意实数，函数表达式恒野茄有意义，函数定义域为R
f'码银(x)=[ln(1+x²)-x-1]'
=2x/(1+x²) -1
=(2x-1-x²)/(1+x²)
=-(x²-2x+1)/(1+x²)
=-(x-1)²/(1+x²)
1+x²恒>0，(x-1)²恒≥0，又-1<0
f'(x)≤0，函数在R上单调递减，至多颂模察有一个零点。
f(1)=ln1-1-1=0-2=-2<0
f(e)=ln(1+e²)-e-1>lne²-e-1=2e-e-1=e-1>0
函数在(1，e)上有零点，则此零点为f(x)的唯一零点。
方程ln(1+x²)=x+1有且仅有一个实根。

Answer 2

解析

根据题意我们可以将方敬圆贺腔燃程的根转化为函数的交点个数来解，在利用数形结合亮派的方法我们就能证明方程有且只有一个实根。