Question

已知一个定理：A为n阶方阵，（A^n）X=0,（A^(n+1)）X=0 同解，那么

A^nX=0,A^(n-1)X=0 同解吗？若不同解，那么请问为什么？

Answer 1

由于 A^n = 0
所以 A^(n-1) (A^kη) = A^(n-1+k)η = 0, k=1,2,...,n-1
所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 都是 A^(n-1)x=0 的解
由于 A^(n-1)≠0
所以 R(A^(n-1)) >=1
所以 A^(n-1)x=0 的基础解系含 n-R(A^(n-1)) <= n-1 个向量
所以只需证明 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 线性无关, 则它就是A^(n-1)x=0 的基础解系
设 k1Aη+k2A^2η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (1)
等式两边乘A^(n-2), 则已知得 k1A^(n-1)η=0
由于 A^(n-1)η≠0, 所以 k1=0.
(1)式化为 k2A^2η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (2)
等式两边乘A^(n-3), 则已知得 k2A^(n-1)η=0
由于 A^(n-1)η≠0, 所以 k2=0.
(1)式化为 k3A^3η+...+kn-1A^(n-1)η=0 (3)
如此下去得 k1=k2=...=kn-1=0
所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 线性无关.
所以 Aη,A^2η,...,A^(n-1)η 是A^(n-1)x=0 的基础解系