Question

∫(dx)/(x²√(1+x²)=?

Answer 1

令x=tant,t∈(-π/2,π/2),x²=tan²t,dx=dtant=sec²tdt
1/x=cott,1/x²=cot²t,1+1/x²=1+cot²t,(1+x²)/x²=csc²t,√(1+x²)/x=csct
∫1/x²√(1+x²)dx
=∫sec²t/tan²t√(1+tan²t)dt
=∫sec²t/tan²t√sec²tdt
=∫sec²tcos²t/sin²tsectdt
=∫cost/sin²tdt
=∫1/sin²tdsint
=-1/sint+C
=-csct+C
=-√(1+x²)/x+C
对于正数a
√(a²+x²)中x∈R,而atant∈R,可令x=atant
√(a²-x²)中x∈[-a,a],而asint∈[-a,a],可令x=asint
这样由三角变换可去掉根号,便于积分
不是随便设,简单的说,你可以考察被积函数的定义域,则可设一个同样是该定义域的函数